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domingo, 4 de enero de 2015

EL SECRETO DE LA BELLEZA

Lo bello consiste en la debida proporción, porque los sentidos se deleitan con las cosas bien proporcionadas.
Santo Tomás de Aquino, "Summa Theologica"
La belleza de una Rosa

¿ Cual es el secreto de la Belleza ?
Esta es probablemente una de las preguntas más difíciles de contestar, y su respuesta ha preocupado a innumerables filósofos y artistas desde el principio de nuestra historia.
Según los filósofos Griegos y Romanos de la época clásica, el secreto de la belleza se esconde en la simetría y en una proporción "perfecta" que siguen los seres vivos y que provoca que resulten bellos y  estéticamente atractivos.
Esta definición de la belleza permaneció vigente también durante la "oscura" Edad Media como podemos ver en la cita de Tomás de Aquino (del siglo XIII) que encabeza este artículo.
Pero fue en el Renacimiento cuando se estudió a fondo la "proporción áurea" que siguen las cosas hermosas (y en especial el cuerpo humano) por artistas como Leonardo da Vinci y sobre todo por su amigo el fraile, filósofo y matemático Luca Pacioli nacido en la Toscana, que escribió en Milán entre los años 1496 a 1498 el libro "La Proporción Divina" (De Divina Proportione”), atribuyendo al propio Díos la creación de la proporción perfecta que muestran las cosas hermosas y es la clave de la belleza.
Esta fotografía es la flor del Girasol que algunos artistas han considerado poseedora de gran belleza y digna de ser convertida en una obra de arte, y la han utilizado como modelo para sus bodegones y pinturas.
Van Gogh pintó dos series de cuadros de Girasoles, una en París y otra en Arlés, ciudad en la que convivió con Paul Gaugin, quien a su vez retrató a Vincent mientras pintaba un jarrón lleno con estas flores.

LA FLOR DEL GIRASOL Y EL SECRETO DE LA BELLEZA

Paul Gaugin (Arlés-1889)
Vincent pintando girasoles

Tanto en la fotografía de la "flor" del Girasol como en el cuadro de Vincent Van Gogh podemos ver la "estrategia" que usa la planta para llenar completamente con semillas el área circular rodeada de pétalos que forma su inflorescencia.
Las semillas (las "pipas") no crecen en forma radial: una detrás de otra, ya que de este modo serían incapaces de llenar completamente el círculo del Girasol y quedarían zonas vacías. Cada vez que la planta genera una nueva semilla, la posición en la que nace da una vuelta completa más una fracción de vuelta, que crea esas bellísimas espirales que percibimos perfectamente en ambos sentidos angulares.
 
Girasoles Cortados  Vincent Van Gogh (París-1887)
Si miramos de nuevo la rosa que encabeza el artículo y que siempre se ha considerado como la flor más hermosa, podemos ver que el crecimiento de sus pétalos sigue las mismas espirales, y que el "secreto de las rosas" que encierra su belleza, es el mismo secreto que utiliza el Girasol para llenar la "flor" completamente con semillas.
Vincent Van Gogh percibió en los últimos momentos de su vida, la presencia obsesiva de estas espirales en toda la naturaleza, y las hizo aparecer en el cielo de su famoso cuadro “La Noche estrellada”, y en su famoso Autorretrato de tonos azules de mirada penetrante y enloquecida. Los torbellinos espirales aparecen en la mayoría de sus obras durante su último periodo de crisis en el manicomio de Saint-Rémy, el último año antes de su suicidio. Vincent había descubierto el secreto más profundo que encierra la naturaleza para crear la belleza.
Pero ¿Cual es esta fracción perfecta que crea las bellísimas espirales en el Girasol y en las Rosas?:  Se trata evidentemente de la misma "proporción áurea" que el fraile Luca Pacioli llamó "la proporción divina" y la misma con la que Fidias creó sus esculturas y diseñó el Partenón de Atenas.
Nosotros mismos podemos calcular su valor mediante un sencillo experimento realizado en nuestro ordenador:   En la estupenda web matemática "Maths is Fun"  ("La matemática es divertida") aparece este "Girasol interactivo" al que en vez de la propia naturaleza, somos...
nosotros mismos los que podemos darle las ordenes para conseguir que rellene su "flor" completamente con semillas, sin dejar espacios huecos.
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La operativa de la simulación es muy sencilla: En el cuadrado donde aparece "Rotación cada vez" escribimos un número que se corresponde con el giro que realiza la planta entre semilla y semilla y luego pulsamos GO (IR). Por ejemplo para utilizar el número 1.25 (Se escribe el número decimal con un "punto" en vez de con "coma") el girasol giraría una vuelta completa más 1/4 de vuelta (1+0.25) cada vez que genera una nueva semilla.  Es evidente que cada cuatro nuevas semillas, se irán alineando en 4 radios perfectos y con este valor de la fracción de giro no conseguiremos llenar completamente de semillas el círculo del Girasol.
Aquí vemos varios intentos generando semillas cada 1.25 vueltas (que como hemos visto forma cuatro radios rectos), otro intento generando las semillas cada 1.3333 vueltas (es decir "una" y "un tercio" ó 1+1/3) que formaría tres radios rectos y un intento más, generando semillas cada 1.7 vueltas, valor que llena mucho más el círculo de la flor con 10 radios perfectos, pero deja también mucho espacio vacío.
Si probamos el número 1.6, veremos que se generan 5 radios rectos, por lo que podemos deducir que la fracción de giro que buscamos se encuentra próxima a estos dos últimos valores (entre 1.6 y 1.7).

Si por último vamos probando los valores 1.69 , 1.68 . 1.67 .... hasta 1.61, podemos comprobar que con estos números los "radios de crecimiento" ya no son rectos y aparecen las bellas espirales que utiliza la Naturaleza (o bien Díos según el fraile Luca Pacioli) para hacer crecer las formas de todos los seres vivos.

Dediquemos un momento a experimentar probando distintos valores entre 1,6 y 1,7 con la simulación del Girasol, para ver si somos capaces de descubrir el verdadero valor numérico de la "fracción divina" que da su forma y su belleza a todos los seres vivos ...

El número 1,618 crea un recubrimiento
perfecto mediante bellas espirales
Si hemos sido precisos, habremos descubierto que la fracción de giro que buscábamos es exactamente el número 1.618, aunque también resultan válidos los números 0,618 y 2,618 que solo se diferencian en el número de vueltas iniciales (ninguna, 1 ó 2) antes de dar la fracción de giro correcta que crea las espirales de recubrimiento.
Más adelante veremos la curiosa propiedad matemática que relaciona estos tres valores: 0,61 1,618 y 2,618.
En esta imagen de la simulación que se forma con la fracción 1,618, podemos ver que aparecen espirales en ambos sentidos angulares, aunque su número no es el mismo: Hay 21 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 13 en el sentido contrario. Para completar la "magia de las matemáticas", si dividimos ambos valores podemos comprobar que la fracción 21/13 también tiene un valor próximo a la "divina proporción":1.61.
Pero no se trata de un "truco matemático". Si contamos las espirales de la fotografía del girasol que aparece al principio del artículo, veremos 34 en el sentido de las agujas del reloj y 55 en sentido contrario. La fracción 55/34 es exactamente 1,618.., de nuevo aparece la proporción divina.
Además de en los Girasoles, también podemos encontrar las espirales de crecimiento en las piñas de las coníferas y los pinos (e incluso en la "piña tropical") como vemos en esta imagen adjunta, en la que hay 8 espirales en un sentido y 13 en el sentido inverso. Por supuesto que 13/8 también es un valor próximo a 1,618.
Estos números aparentemente aleatorios (8, 13, 21, 34, 55 ...) no son "números cualquiera", pertenecen a una famosa progresión matemática (llamada la "Sucesión de Fibonacci"), y están totalmente relacionados entre si (21=13+8, 34=21+13, 55=34+21...).

Las elegantes espirales de las plantas
LA ESPIRAL LOGARÍTMICA
La espiral que emplea la naturaleza para hacer crecer los seres vivos se conoce con varios nombres: Los matemáticos le llaman “Espiral logarítmica” pero  la mayoría de los artistas la conocen como la “Espiral de Durero" ya que este gran artista del Renacimiento fue el primero en lograr dibujarla a partir de la "proporción áurea” al “estilo de los griegos clásicos”; únicamente con regla y compás.

La espiral logarítmica además de gran belleza tiene propiedades matemáticas únicas como podemos apreciar en esta fascinante e hipnótica imagen animada.
Aunque el tamaño de la espiral aumenta hasta el infinito, su forma no se altera en cada ciclo sucesivo (Esta propiedad se llama “auto-similitud” y la comparte con las curvas fractales).   
La espiral se enrolla alrededor de un punto (“su polo”) sin llegar a alcanzarlo nunca, después infinitas vueltas más y más pequeñas. Si nos acercamos poco a poco hacia su polo como si viajáramos por el espacio, siempre veremos la misma curva, que decrece desde el infinito hacia su polo sin cambiar nuca de forma.
Autosimilitud: Cualquier parte de la 
Espiral reproduce la Espiral completa.
Probablemente gracias a esta propiedad única (crecer manteniendo la misma forma) aparece en la naturaleza en casi todas las formas de crecimiento de los seres vivos, unas veces de manera muy evidente y otras oculta en la estructura de las células y los tejidos que forman el organismo en crecimiento.
La vida crece y se despliega en forma de espiral logarítmica creando seres proporcionados, equilibrados y con un alto grado de simetría. 
Sección de la concha del "Nautilus"
Hay muchísimos ejemplos de esta elegante curva en la naturaleza:  La Espiral Logarítmica da su forma a todos los caracoles desde los ammonites prehistóricos  que vivieron hace 400 millones de años, hasta quizá su ejemplo vivo más perfecto: la concha de un molusco cefalópodo llamado “Nautilus” que podemos ver en esta hermosa fotografía.

Los ammonites se extinguieron a la vez que
los dinosaurios hace 65 millones de años.
Todos estos animales construyen su concha caliza añadiendo nuevas cámaras de mayor tamaño (en proporción 1 a 1,618) mientras que hacen girar la estructura original de su concha, conservando así su forma "de caracol".

En esta animación de la bella concha del Nautilus podemos ver de nuevo que la espiral logarítmica y el número áureo están completamente relacionados como descubrió Durero.
La proporción entre las cámaras exterior e interior de la concha es constante (e igual a 1,6180) a lo largo de todo el trazado de su espiral logarítmica.
En realidad la Espiral Logarítmica no aparece únicamente en los seres vivos. También la encontramos en muchos fenómenos físicos de la naturaleza desde los niveles más pequeños (en el movimiento de las partículas atómicas) hasta sus niveles más grandes: Las "Galaxias Espirales" formadas por millones de estrellas. Nuestro pequeño planeta se encuentra en un punto en el borde de uno de los brazos de nuestra Galaxia Espiral conocida como “La vía láctea”.
La espiral en los brazos de las Galaxias

A nivel subatómico, acabamos de descubrir una nueva partícula que era necesaria para que nuestro modelo del universo tuviera sentido: el “Bosón de Higgs”, también llamado la “partícula de Díos”. Para detectarla se han hecho colisionar dos haces de protones, consiguiendo que unos pocos se destruyeran en este choque y se descompusieran en multitud de partículas más exóticas y elementales con vidas muy cortas. Muchas de estas nuevas partículas se han podido detectar gracias a las hermosas espirales logarítmicas que siguen sus trayectorias desde el momento de su “creación” hasta su aniquilación después de unos pocos nanosegundos.
Trayectorias espirales de partículas en un campo magnético

Los Huracanes y los Tornados también presentan bellas formas Espirales Logarítmicas. Su polo, es decir "el ojo del huracán" es el vértice donde se originan las tremendas fuerzas de crecimiento y de giro de estas masas de aire y vapor de agua, pero son el único lugar del huracán que se mantiene en calma y en equilibrio.
El ojo del Huracán y la Espiral Logarítmica
Espirales en un Huracán
El vuelo de un águila hasta alcanzar su presa sigue también la trayectoria de una Espiral Logarítmica en forma de hélice, ya que esta es la única manera posible de acercarse a una presa sin que escape, manteniéndola siempre en el punto de vista (el polo de la espiral). Algunas plantas emplean esta misma estrategia de hélice en sus tallos para que todas sus hojas reciban la máxima insolación
Espiral en forma de hélice
Tallo Espiral en forma de Hélice
Brote en forma de Espiral Logarítmica
Espirales de los colores primarios
giradas y superpuestas.  Es asombroso 
el parecido con una rosa policroma.

En un campo gravitatorio todas las partículas que giran describen espirales logarítmicas
En el rostro humano el pabellón auricular sigue con bastante aproximación la forma de la espiral logarítmica, y los perfiles de los rostros mas hermosos encajan perfectamente con los perfiles de esta curva equilibrada y perfecta.
Espiral logarítmica en nuestra oreja
y en los perfiles del rostro humano.


















Muchos artistas han empleado para la composición de sus cuadros espirales logarítmicas que guían las posiciones del cuerpo de sus modelos o la ubicación de los personajes dentro de la composición global de sus obras, con lo consiguen una increíble belleza en sus creaciones. El  cuadro del "Nacimiento de Venus" de Botticelli es uno de los mejores ejemplos posibles: 
La mano con la que Venus cubre su pecho, da origen a una espiral logarítmica que guia nuestra mirada y que tiene su polo en los labios de la bellísima modelo. Aunque su cuello es anormalmente largo, consigue así orientar la cabeza de la diosa cerrando esta hermosa forma curva espiral. El pelo de la bella Simonetta esta lleno también de espirales doradas y la equilibrada situación de los personajes que parecen flotar alrededor de la Diosa sigue los contornos armoniosos de varias curvas espirales semejantes.  Las manos cruzadas de la "Gioconda" de Leonardo también son el inicio de una espiral que guía nuestra mirada hacia la nariz y los labios de la modelo retratada (Lisa Gherardini).


LA  PROPORCIÓN ÁUREA
La "proporción perfecta", ó "fracción áurea" que hemos descubierto en las Rosas y en el diseño de las elegantes espirales de crecimiento del Girasol, y cuyo valor numérico es 1.6180339887498.... es además un número muy especial, con propiedades matemáticas únicas, y quizás por eso es utilizado por la naturaleza en todos los sistemas en crecimiento

Se trata de un número irracional (como por ejemplo la "Raíz de 2" (√2) o el "número π (Pi)"), con infinitos decimales que no siguen ningún orden y no puede ser representado con una razón (o fracción) de otros dos números enteros (por eso se dice que es un "número irracional", no porque esté loco). En realidad el número áureo es el "más irracional de todos los números irracionales", ninguna fracción (razón) puede representarlo ni siquiera proximadamente.
En esta dirección de la Red podemos ver sus primeros 20.000 decimales, y también podemos descargar un pequeño programa que calcula hasta un millón de los infinitos decimales que este número esconde.
Su inverso (1/1,6180339...) es el mismo número menos 1, es decir 0,6180339... (con todos los decimales idénticos hasta el infinito...).
Su cuadrado es el mismo número más 1, es decir (1,6180339..)2 = 2,6180339... (con todos sus decimales idénticos hasta el infinito).
La "fracción áurea ó proporción perfecta" igual que el número π tiene un "nombre propio": FI
Se conoce por la letra griega φ ("fi" minúscula) o Φ ("fi" mayúscula) en honor al escultor griego Fidias que fue el primero en utilizarla para diseñar el Partenón de Atenas. A menudo se le da alguno de los nombres que ya hemos visto en este artículo: el  "número áureo"  la "proporción de oro" ó la "divina proporción", y a veces aparece en algunos documentos en inglés como "Phi".

¿CÓMO DIVIDIR UNA RECTA EN DOS PARTES?
El número "áureo" fue descubierto por los Griegos cuando buscaban una proporción "perfecta" para dividir una recta en dos segmentos "armónicos" entre sí.
Se dieron cuenta que la división por la mitad en dos partes iguales (1:1) no era la más estéticamente aceptable ni tampoco lo era la proporción de una parte a la mitad, o al doble (1:2).
El fraile Luca Pacioli.

La definición que dio el fraile Luca Pacioli en su libro: “De Divina Proportione” (1509) para calcular esta proporción "perfecta" es la siguiente:  
Al dividir un segmento en dos partes armónicas debemos conseguir que:
"LA PARTE MÁS GRANDE DEBE SER AL TOTAL,  COMO LA PARTE PEQUEÑA ES A LA PARTE GRANDE" 

Dicho de otro modo: Al dividir un segmento en dos partes, la partición más perfecta (y la más bella y armónica) es aquella en la que la división o proporción entre la longitud del segmento de partida con su parte más grande es idéntica a la proporción entre ambas partes.
Esta sería la expresión matemática de la proporción áurea:
Al descomponer una recta A de longitud 1, en dos partes B (pedazo grande) y C (pedazo pequeño), se debe cumplir que la proporción del total al pedazo grande (A/B) sea igual a la proporción entre ambos pedazos (B/C) y su valor es el "número áureo": φ (1,6180339...).  Si la recta inicial (A) medía 1 unidad, se cumplirá además que el pedazo más grande (B) mide exactamente 1/φ (0,61890339..)

Tampoco se trata exclusivamente de otra curiosidad matemática, en realidad el número φ aparece en todas las formas naturales en crecimiento y en todos los seres vivos y nuestro cerebro es capaz de percibir automáticamente las relaciones entre 1 y φ como las más estéticamente agradables y las más hermosas.

LA DIVINA PROPORCIÓN EN EL CUERPO HUMANO
En el cuerpo humano el número φ aparece en muchísimas de las relaciones entre sus distintas partes, especialmente en los cuerpos más perfectos y por lo tanto "bien proporcionados".

Al contemplar un cuerpo humano desnudo, si dividimos su altura total en dos partes según la "divina proporción", el punto "áureo" es exactamente su ombligo; es decir; en las personas con un cuerpo perfecto, la proporción entre su altura total y la altura del ombligo es exactamente φ (1,61890339). El punto inicial de crecimiento dentro del claustro materno es el ombligo, pero en los adultos no se encuentra en la mitad del cuerpo (a 0,5), sino exactamente a 1/φ=0,6180339 de su altura total.
  
Aquí podemos ver dos ejemplos espléndidos de la "proporción áurea" en los cuerpos perfectos de la primera mujer: "Eva" y de la diosa de la belleza:"Venus" que en realidad son la bellísima modelo Cindy Crawford fotografiada por Annie Leibovitz en 1993 y la mujer mas bella de Florencia en el siglo XV; Simonetta Cattaneo pintada por Sandro Botticelli en 1476.  
  El cuerpo humano incluye muchísimas referencias más a este "número áureo":


Por ejemplo φ es la proporción entre la mano y el antebrazo y también es la proporción entre los huesos de los dedos de la mano (excepto en el pulgar) como podemos apreciar en esta radiografía de las tres falanges y el metacarpio (oculto dentro de la palma de la mano) en los que cada hueso es exactamente φ veces menor que el anterior.
En nuestros cuerpos φ también es la proporción entre la distancia desde el hombro hasta los dedos de la mano y la distancia desde el codo al extremo de los mismos dedos (es decir el codo está en el punto φ entre el hombro y el extremo de los dedos), la rodilla también es el punto φ de división armónica desde la cadera a la planta de los pies.
Incluso los dientes son también progresivamente φ veces más pequeños desde el  centro de la mandíbula hacia ambos lados, como podemos ver en esta imagen:
Los dientes siguen la razón áurea
 Hasta la aparición del sistema métrico decimal a finales del siglo XIX, las unidades de medida empleadas para construir los castillos, las catedrales, los puentes y los caminos estaban en relación con medidas del cuerpo humano tales como "un palmo", "una cuarta", "un codo", "un pie", "un paso" y sus múltiplos como la Legua (12.000 pies) ó la Milla ("mille-pasum", en latín "mil pasos" ).
En la imagen de la derecha podemos ver las medidas más habituales empleadas durante la edad media y sus equivalencias en centímetros (aunque sus valores no eran uniformes en todas las regiones) y podemos comprobar que la relación entre cada unidad de medida y la inmediatamente superior, está  en proporción aproximada al número φ (1,6).  De esta manera la "divina proporción" aparece de un modo natural en todas las construcciones medievales, aunque los "constructores de catedrales" conocían la "proporción áurea" y a menudo la utilizaban intencionadamente en sus obras y eran capaces de calcularla con los sencillos elementos de medida con los que contaban (la plomada, el "compás" y la cuerda con 3, 4 y 5 "nudos" con la que también podían trazar ángulos rectos perfectos), como podemos ver en este enlace.

Un lugar inesperado en el que también aparece la  "proporción áurea", es en los latidos de nuestro corazón, que sigue en cada pulsación tranquila un ritmo de φ. Los tres impulsos eléctricos que conforman un electrocardiograma (EKG) son la onda P (contracción de aurícula) la onda QRS (que se corresponde con la contracción del ventrículo y que impulsa la sangre por las arterias) y la onda T que se corresponde con la relajación espontánea del músculo cardíaco. La onda T aparece en el punto áureo (φ) entre sucesivas pulsaciones; la "música" de nuestro corazón (cuando estamos relajados) también sigue la "razón de oro".

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN EL ROSTRO HUMANO
El número áureo φ también aparece en muchísimas proporciones entre los distintos elementos de la cara humana:
Los ojos se sitúan en las personas adultas justo en la mitad de la cabeza aunque no suele percibirse así y tendemos a pensar que se encuentran mucho mas altos en la cabeza.
Entre los dibujantes "novatos" es muy corriente este error de no situar los ojos correctamente en la posición central del cráneo, conocido como el "error del cráneo recortado".
En esta imagen de un cómic del "Capitán Trueno" de Ambrós podemos ver este error en los tres protagonistas y muy claramente en el muchacho de la derecha ("Crispín"). Junto a esta imagen, podemos ver un dibujo de Vincent Van Gogh ("El Carpintero" de 1880) realizado durante su etapa de aprendizaje autodidacta, también con el "cráneo recortado".
Algunos dibujos de Van Gogh y de Ambrós a veces contienen errores anatómicos.

La simetría y la proporción respecto al número áureo y respecto a proporciones enteras sencillas (1/2, 1/3, 1/5, etc.), aparecen muchísimo en las caras percibidas como “más hermosas”: En los rostros mejor proporcionados la proporción de la altura de las cejas respecto al cráneo es φ, es decir las cejas se encuentran en el punto áureo respecto a la altura total de la cabeza (y los ojos a la mitad).
Si medimos desde el centro del ojo hasta la barbilla, el punto áureo se encuentra en el limite final de la nariz, y si medimos desde este limite hasta la barbilla el punto áureo situado a 1/φ señala el corte de la boca cuando esta se encuentra relajada (aunque en esta foto de la modelo Adriana Lima la boca se encuentra un poco más alta porque tiene apretados los labios) Por último, el final de la nariz se encuentra en el punto áureo del rostro, medido desde el nacimiento del pelo en la frente hasta la barbilla

La modelo brasileña Adriana Lima tiene unas proporciones áureas perfectas en su rostro.

Las caras más hermosas también pueden dividirse verticalmente en 5 partes cuyo ancho coincide con el ancho del ojo y el de la nariz. La vertical trazada desde el centro de la pupila caería en el borde de los labios "perfectos" y la distancia entre los dos ojos es de "otro ojo", como reza la regla para dibujantes.  
La cara de la actriz Naomi Watts dividida verticalmente en 5 partes
Podemos ver un conjunto de todas estas reglas que los dibujantes emplean como ayuda para dibujar rostros humanos perfectos, en la ilustración que aparece en el excelente libro para "Aprender a Dibujar" de Betty Edwards, que también podemos consultar en la Red.  
Reglas de proporción del rostro perfecto
según el curso de dibujo de Betty Edwards
El globo ocular también puede inscribirse en circunferencias cuyo diámetro sea  progresivamente φ veces mayor, como podemos ver en esta imagen de la derecha.
Partiendo del diámetro del iris, una circunferencia φ veces mayor delimita la córnea y el párpado superior. La siguiente circunferencia de diámetro φ² marcaría
la altura de las cejas y descentrando dos circunferencias del mismo diámetro hasta tocar el iris por arriba y por abajo, nos delimitan perfectamente la parte visible del globo ocular.  
La última circunferencia φ veces mayor(de diámetro φ³), coincidiría exactamente con el diámetro de la esfera del globo ocular, dentro de nuestra cabeza.   
Como resumen de todas estas "proporciones áureas" que aparecen en los rostros más bellos, podemos emplear como "plantilla de medida" segmentos φ veces mayores, según el código de colores de la imagen adjunta, y superponerlos sobre alguna cara bien proporcionada, como por ejemplo el bellísimo rostro de la modelo que ya hemos mostrado antes (Adriana Lima), de simetría perfecta.
En horizontal, si tomamos como unidad el ancho del ojo, esta será también la medida de la separación entre ambos ojos y del ancho de la nariz en los rostros más bellos.
La boca es φ veces mayor es decir medirá exactamente el "número áureo" (1,6180, el segmento verde en la imagen). La siguiente medida φ veces mayor  (φ² de color amarillo) coincide con la distancia desde la pupila de un ojo hasta el extremo del otro ojo, aunque esta medida depende mucho de cada persona y es muy importante cuando dibujamos una cara, para lograr el parecido con el modelo. Por último, la medida φ veces mayor debe coincidir con el ancho del rostro a la altura de las cejas.

        
En vertical, si tomamos como unidad la distancia medida desde la pupila hasta el limite de la nariz (que es en realidad la longitud de la nariz),  la siguiente medida φ veces mayor (línea vertical amarilla) llegaría exactamente a la altura de la boca y la medida φ veces mayor (línea vertical cyan) llegaría exactamente al final de la cara, es decir a la barbilla.
EL RECTÁNGULO ÁUREO
Si formamos ahora un rectángulo cuyo lado más ancho sea φ veces mayor que el otro, habremos construido lo que se conoce como un “Rectángulo Áureo” .  Esta es una de las formas “cuadradas” que nuestro cerebro reconoce como “mejor proporcionadas” y por lo tanto “más bonitas” y por ese motivo no es extraño que estemos rodeados de objetos artificiales que tienen la forma de rectángulos áureos casi perfectos, como el "carnét de identidad", el permiso de conducir y todas las tarjetas de crédito, los paquetes de café y de tabaco, las cartas de la baraja y la mayoría de los libros bien encuadernados. Los arquitectos y los diseñadores han empleado esta forma con profusión ya que nuestro cerebro la percibe como perfectamente proporcionada y armoniosa, por ejemplo el rectángulo "de oro" de la izquierda es el logotipo de las revistas "National Geographics" cuyas dimensiones son rectángulos áureos perfectos .
Los Rostros más bellos se inscriben en un Rectángulo Áureo.
 No es una coincidencia que las caras humanas más “bonitas” queden perfectamente inscritas dentro de un rectángulo áureo:  La relación entre el ancho de los rostros más bonitos respecto a su altura (hasta el nacimiento del pelo en la frente) es exactamente φ.  En los rostros más hermosos pueden trazarse muchísimos rectángulos áureos coincidiendo con puntos de referencia de los mismos, tanto horizontal como verticalmente, por ejemplo el rectángulo áureo que va desde ambas pupilas hasta la barbilla y delimita el ancho de los labios. En estos dos rostros femeninos podemos ver trazados muchos de estos rectángulos áureos que provocan la percepción de la belleza.
En 1876 el psicólogo alemán Gustav Theodor Fechner, realizó un experimento sobre la percepción de la belleza empleando el rectángulo áureo. Fechner presentó a varias personas no relacionadas con el arte, una colección de 10 pequeños rectángulos de 1 cm de ancho con diversas proporciones incluyendo un cuadrado, entre los que se encontraba también un único rectángulo áureo (de 5x8).
El experimento consistía en que los sujetos debían elegir el rectángulo que les resultaba “más agradable”, es decir el mas bonito al primer “golpe de vista” sin ninguna otra consideración estética. También nosotros mismos podemos efectuar el “Test de Fechner”, eligiendo el rectángulo que nos parezca más bonito de entre los que aparecen en la imagen adjunta que Fechner utilizó en su experimento. Elige uno por favor, antes de conocer los resultados del Test  ….
¿Que rectángulo es el más bonito?
Los resultados del estudio de este investigador fueron sorprendentes, ya que demostraron que el cerebro humano percibe de modo inconsciente la proporción más perfecta, dado que los sujetos seleccionaron por abrumadora mayoría el único rectángulo áureo de la serie. Es bastante probable que nosotros también hayamos seleccionado el mismo como “el más bonito”: el único rectángulo áureo de la serie (el cuarto por la derecha).
Esta imagen muestra un resumen de los resultados del experimento de Fechner: En la parte superior podemos ver los rectángulos empleados con sus respectivas proporciones y en la parte inferior las estadísticas de las elecciones efectuadas por los sujetos experimentales, que claramente seleccionaron el rectángulo de 5x8 como el mejor proporcionado.

Es muy fácil reconocer si un rectángulo determinado es áureo ya que gracias al equilibrio entre sus proporciones, si ponemos juntos dos rectángulos iguales (por ejemplo dos libros) y unimos el lado ancho de uno con el estrecho del otro (como en la figura) la diagonal del rectángulo “tumbado” coincide con el vértice del rectángulo “de pie”, y esto no puede suceder con ningún otro cuadrilátero. Una buena aproximación al rectángulo áureo serían los rectángulos de 5x8 ó mejor aún de 13x8, parejas de valores cuya fracción está muy próxima a φ (1,61).
CRECER MANTENIENDO LA FORMA
Si añadimos un cuadrado al Rectángulo
Áureo Pequeño (en rosa en la figura), el
rectángulo resultante, también es áureo

Otra de las propiedades más importantes del rectángulo áureo es que se trata de la única forma geométrica que puede crecer a la vez en ancho y en largo (la misma cantidad) sin perder su forma “áurea” perfecta, como podemos ver en esta figura. 

Si giramos un rectángulo áureo y lo ponemos “de pie” sobre su lado más corto, al “adosarle” un cuadrado perfecto, la nueva figura que se forma sigue siendo un rectángulo áureo semejante al original (y exactamente φ veces mayor).  
 Si continuamos este proceso de crecimiento (giro y aumento en “largo y ancho” añadiendo cada vez un cuadrado), que puede prolongarse hasta el infinito, seguiremos obteniendo rectángulos idénticos progresivamente mayores, como podemos ver en esta figura animada.
Veamos un ejemplo numérico: Para hacer crecer un rectángulo áureo de 1x0,6180 (0,618 es 1/φ), primero lo giramos para apoyarlo sobre su lado menor y luego le “adosamos” un cuadrado de 1x1. Con ello conseguimos un rectángulo de 1x1,6180, que es precisamente la definición del rectángulo áureo, y es exactamente φ veces mayor que el original.
Si de nuevo lo giramos y añadimos otro cuadrado (esta vez de φxφ), pasa a ser un rectángulo de 1,6180x2,6180 que es también áureo ya que 2,6180/1,6180 es φ. Así podemos proceder indefinidamente, creciendo en largo y ancho sin perder su forma original.
Por supuesto lo contrario también es cierto: Cualquier rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado más otro rectángulo áureo (“girado”) más pequeño …. que a su vez puede descomponerse en un cuadrado perfecto más otro rectángulo áureo más pequeño… y así indefinidamente.
Durero se dio cuenta de que esta forma de crecimiento era idéntica a la de la espiral que aparece en todas las formas de la naturaleza, e ideó una manera de dibujarla partiendo de un rectángulo áureo descompuesto progresivamente en cuadrados y rectángulos áureos más y más pequeños.
Para lograrlo basta con trazar con un compás distintos cuadrantes de circunferencia en cada uno de los cuadrados que forman esta estructura infinita de rectángulos áureos y cuadrados más pequeños.
Podemos verlo claramente en esta figura:
Desde la publicación de su obra “De la Medida” en 1525, los artistas llaman a esta curva la “Espiral de Durero” y es una aproximación muy precisa a la verdadera “Espiral logarítmica”. Es imposible dibujar una espiral con un compás como ya sabían los antiguos griegos.

La descomposición de un rectángulo áureo en un cuadrado más otro rectángulo áureo más pequeño sirve también para delimitar los rasgos característicos del rostro humano.
Por ejemplo la cabeza completa podría inscribirse en un rectángulo áureo que podría dividirse verticalmente en un cuadrado perfecto (que incluiría todo el rostro desde las cejas hasta la barbilla) más otro rectángulo áureo (que incluiría toda la frente, mas el flequillo), la división entre cuadrado y rectángulo marca exactamente la altura de las cejas dentro de la cabeza (aunque en el caso de la Gioconda estas cejas no existen).
El rectángulo áureo que une las dos pupilas también se podría dividir en dos partes: un cuadrado que incluiría la nariz, más un rectángulo áureo que incluiría la boca perfectamente centrada en su interior.
Horizontalmente puede definirse también otro rectángulo áureo que incluye ambos ojos (con las cejas) y acaba bajo la nariz, y su descomposición que delimita perfectamente cada ojo  en los dos rectángulos áureos posibles y define así el ancho de la nariz perfecta.
En estas dos imagenes del actor Brad Pitt podemos ver un resumen de todas las descomposiciones de los rectángulos áureos en los que se inscribe la cabeza humana, en cuadrados perfectos y rectángulos áureos más pequeños.


LA DIVINA PROPORCIÓN EN LAS PLANTAS
Uno de los problemas que ha tenido que resolver la naturaleza ha sido el conseguir hacer crecer a los seres vivos sin la perdida de su forma básica que identifica a todos los individuos dentro de su especie. Por ejemplo las hojas juveniles de la mayoría de las plantas tienen el mismo “diseño” que el de las hojas maduras y lo conservan siempre  mientras crecen. No solo son las hojas; el aspecto general de un árbol o de una planta se mantiene aunque continuamente esté desarrollando brotes y ramas nuevas. Excepto las pocas especies de insectos (y anfibios) que “sufren” metamorfosis, la mayoría de los animales (entre ellos el hombre) desde su adolescencia a su vejez mantienen el mismo “esquema” corporal propio de su especie.

Por eso no es extraño que la mayoría de las hojas de las plantas puedan inscribirse en rectángulos áureos, ya que esta es la única forma que puede crecer conservando la forma. Aquí vemos tres ejemplos de hojas de un rosal, un olmo y una higuera.  Las hojas del rosal y de la higuera a pesar de su tamaño muy diferente, tienen un esquema semejante:
Simetría horizontal a partir de su nervio central y descomposición en formas áureas. 
Si dividimos verticalmente la hoja por su parte más ancha, vemos que la hoja se inscribe en cuatro formas geométricas perfectas: dos cuadrados y dos rectángulos áureos. 
Si tomamos como unidad el ancho de cada mitad simétrica de la hoja, su altura hasta la parte más ancha de la hoja también será de 1 unidad y desde este punto al extremo de la hoja: φ  unidades, por lo que su altura total es φ cuadrado (=φ+1).  Por supuesto que la “presión” evolutiva a veces ha empujado a las hojas en otras direcciones, sobre todo en situaciones ambientales extremas (por ejemplo, las “hojas de los cactus” son sus espinas, y en los ambientes muy fríos, las hojas tienden a ser finas como “agujas” para no retener la nieve y romper con este sobrepeso la rama de su propio árbol).  
Aquí también podemos ver la descomposición de una hoja más delgada, habitual en la mayoría de los árboles de climas templados (se trata de la hoja de un Olmo), que queda inscrita en un cuadrado y un rectángulo áureo si la dividimos verticalmente por su parte más ancha.

BELLEZA Y EVOLUCIÓN
La naturaleza crece siguiendo la proporción del número áureo y describiendo hermosas espirales, y todos los seres vivos somos capaces de percibir esta simetría y esta proporción perfecta entre las partes y asociarlo con la belleza, lo que estimula nuestro "Sistema Límbico" (nuestro “cerebro emocional” donde se ubica el centro del placer), dándonos una sensación de plenitud, de alegría y de perfección. 
Durante millones de años las plantas más eficientes en el aprovechamiento de los nutrientes y en la captación de la luz solar, fueron evolucionando y sustituyendo a las que no seguían las pautas matemáticas correctas de crecimiento, con lo que adquirieron de un modo natural simetría y proporción respecto a φ.
 
La vida evolucionó sobre la tierra firme durante millones de años compuesta únicamente por plantas e insectos sin la competencia de animales superiores, mientras el resto de los seres vivos evolucionaban lentamente en los fondos marinos.   Muchas especies de plantas se hicieron dependientes de los insectos para su reproducción y se desarrollaron simbiosis entre especies de insectos y plantas.
Las partes del cuerpo de los escarabajos
son progresivamente φ veces mayores
hasta llegar a la longitud total del insecto
Luego hicieron su aparición las plantas con flores, de bellos colores e intensos perfumes que desplegaron estas características como una atracción para sus polinizadores (los insectos). Los humanos también apreciamos la belleza de las flores, pero olvidamos que no fueron creadas para nosotros, sino para los insectos, y que son el resultado de la selección realizada por estos pequeños seres vivos. Nuestro sentido de la belleza coincide con el de los insectos.
Las abejas obreras también tienen las partes del cuerpo 
en progresión de
φ hasta su longitud total.
 La mayoría de las flores son probablemente más atractivas para los insectos que para nosotros mismos, por ejemplo muchas de las flores que para nosotros tienen color blanco, en realidad muestran hermosos tonos ultravioletas totalmente invisibles para nuestros ojos, pero que si que son percibidos por los ojos compuestos de los insectos.
En muchas aves, las zonas del plumaje
coloreadas están en proporción áurea.
 La aparición de seres vivos con sistemas nerviosos más evolucionados, aumentó la presión selectiva en la búsqueda de la pareja, seleccionando dentro de cada especie los individuos mas hermosos, los más simétricos y bien proporcionados porque estas características están asociadas a la ausencia de infecciones, a la buena alimentación y a la salud (incluso durante la gestación), y a la ausencia de imperfecciones genéticas y brinda a cada especie la posibilidad de tener una buena descendencia aumentando su supervivencia. Así aparecieron por ejemplo los bellos plumajes de las aves (descendientes directas de los dinosaurios) y también la música de sus canciones que llenaron de armonía el planeta millones de años antes de la aparición del hombre. La selección natural se fue encargando de eliminar a los individuos menos simétricos y perfectos.
Todos los animales (incluidos los humanos) compartimos el mismo concepto de la belleza porque está grabado en nuestro cerebro por siglos de selección natural, y todos los animales hemos seleccionado a nuestras parejas a lo largo de millones de años de acuerdo con esas sencillas reglas: simetría y proporción respecto a φ.   La belleza NO depende de razas ni de culturas sino que trasciende a los seres humanos; es la misma en todos los seres vivos y no es exclusiva del hombre: Las reglas matemáticas que nos hacen percibir la belleza y que están impresas en nuestros cerebros, son las mismas que perciben todos los animales, los peces, las aves y los mamíferos, incluido el hombre.
medidas φ veces mayores en un delfín
Es más, el sentido de plenitud, de alegría y de placer al contemplar algo bello probablemente sea mayor en los animales que en el propio hombre. El tálamo es una parte del “cerebro antiguo” que aparece ya en los primeros reptiles. La evolución ha ido desarrollado partes nuevas del cerebro (la corteza) sin hacer desaparecer las partes más antiguas donde se localizan las emociones y que los humanos compartimos con los animales menos evolucionados. Nuestro cerebro incluye en su interior el Sistema Límbico” que es mucho mas antiguo que nuestra propia especie y que actúa con independencia de la parte lógica de nuestro cerebro, sin ninguna conexión con el centro del lenguaje que reside en la corteza del hemisferio izquierdo, de hecho este “Sistema Límbico” a menudo se ha identificado con la parte subconsciente de nuestra mente.   Ciertamente la presión evolutiva es menor en nuestra especie que en las demás, y la gran mayoría de nosotros al elegir a las personas con las que nos rodeamos (incluida nuestra pareja), buscamos personas  inteligentes, cultas y sensibles, con opiniones y carácter semejantes a los nuestros y anteponemos estas características por encima de su propia belleza física.

Simetría áurea en un Koala

OPINIONES DISCORDANTES
Pero antes de acabar este artículo hay que indicar que existe una “corriente de opinión” (llamarlo “filosofía” sería darle más valor del que probablemente merece), conocida como “relativismo” que ha cuestionado esta definición de la belleza.
Esta “ideología cultural” sostiene básicamente la idea de que “no existen verdades absolutas” y que todo puede ser verdad o mentira (a la vez) según el contexto histórico y cultural en que nos movamos. Claro que esta afirmación sería “la verdad” del relativismo, lo que es bastante incompatible con su propia teoría.
Respecto a la belleza, los relativistas sostienen que si algo nos parece bonito o feo es porque así nos han educado para ello. Afirman que no existe la belleza absoluta, sino que “es relativa” y algo puede ser bonito y feo a la vez, dependiendo de cada cultura y cada sociedad.  Además creen que la definición de la Belleza según el “Canon Clásico” es una imposición cultural y opinan que cada sociedad debe reconocer lo bello según su raza, sus costumbres y sus tradiciones y consideran rechazable que nuestra “Cultura Occidental”, heredera del Renacimiento, de Grecia y de Roma quiera “imponer” su idea de la belleza al resto del mundo. A pesar de sus incongruencias, el “relativismo” que fue planteado primero por Kant no se encuentra en nuestra época en decadencia, incluso se suele considerar en la actualidad como “la opinión políticamente correcta”, ya que al ser todo “relativo” la "clase política" podría justificar cualquiera de sus acciones, incluso las que traicionan su propia “ideología” o las opiniones de los votantes que representan.

EL CANON DE LISIPO
Platón creía que existía un mundo ideal donde habitaban todos los conceptos absolutos: "la verdad", "la lealtad", "la bondad" y "la belleza". El mundo en que vivimos no era para el más que un reflejo imperfecto de ese mundo abstracto de las ideas absolutas. Cuando una persona juzgaba la belleza, inconscientemente efectuaba una comparación entre lo observado y el modelo de la “belleza absoluta” que tenemos en nuestro interior. No es extraño que los Griegos buscaran este “modelo de la belleza” para el cuerpo humano al que llamaron “canon”.

El escultor Policleto, contemporáneo de Fidias desarrolló el primer "canón" del cuerpo humano y lo plasmó en dos de sus estatuas en bronce: El Doríforo y El Diadúmeno. Este fue el modelo aceptado por los griegos durante su época clásica pero casi cien años después (en el siglo IV a.C.), el escultor griego Lisipo estudió a fondo las proporciones del hombre y estableció un nuevo "Modelo" ó "Canon" en el que establecía que "la altura del cuerpo perfecto era igual a la altura de ocho cabezas" y que el ombligo dividía nuestro cuerpo en dos partes "armónicas" de 5 cabezas (desde los pies al ombligo) y 3 cabezas (del ombligo hasta la altura total). Podemos ver marcadas estas divisiones en su estatua  Apoxiomeno que mostramos aquí.
El "canón de 8 cabezas" incluye la razón áurea (8/5 es aprox. φ)
El "Canon de Lisipo" coincide con gran aproximación con la "proporción áurea", ya que 8/5 es aproximadamente φ (1,6) y se ha mantenido como el "modelo ideal del cuerpo humano" a lo largo de los siglos.
Además de en las "estatuas clásicas" de Grecia Roma y del Renacimiento, hemos visto también estas proporciones perfectas en los cuerpos de Simonetta, la modelo favorita de Botticelli, y en el de la modelo Cindy Crawford cuya altura es exactamente “Ocho cabezas”.  No hemos cambiado nada en nuestros gustos después de más de 2000 años de historia.
Cuando miramos una persona desnuda o su representación artística en una estatua de mármol todos somos capaces de percibir inconscientemente si sus proporciones son "correctas" y tiene unas piernas perfectas o bien si son demasiado cortas o excesivamente largas.
La situación del ombligo en el "punto áureo" del cuerpo (como ya hemos visto), fija esta longitud de las piernas "perfectas" respecto a la altura total de la persona.
Pero nos queda la duda de si la "percepción de la longitud correcta" de las piernas es un proceso “inconsciente" de nuestro cerebro, que habría sido grabado en nuestra mente durante la evolución de nuestra especie a lo largo de miles de años, o de si se trata, por el contrario, tal vez de la educación estética que hemos recibido y podría ser diferente en diferentes culturas o para otras razas humanas.

UN EXPERIMENTO CIENTÍFICO:
PERCEPCIÓN DE LA BELLEZA DENTRO DEL CEREBRO


¿Existe realmente un "canón", es decir un "modelo del cuerpo perfecto" que sería la referencia absoluta con la que comparar las medidas del cuerpo de una persona “real” para detectar así su perfección y su belleza? ¿Se trata de un modelo valido para toda la humanidad o bien es una "imposición cultual de la cultura occidental” heredera de Grecia?.
¿Se podría ver el efecto del “belleza clásica” sobre nuestros cerebros?.
 Actividad cerebral inducida por la belleza áurea..
Un grupo de neurólogos Italianos lo investigó en el año 2007 y realizó el experimento definitivo para comprobar si existía realmente un lugar del cerebro donde se detectaba la belleza, o si por el contrario la percepción de lo bello era un proceso consciente, basado en el aprendizaje previo de los distintos paradigmas de cada cultura (y de cada época) sobre lo que se considera bonito. Gracias a este experimento científico hemos podido comprobar que, la respuesta de nuestro cerebro a este “modelo de belleza clásica” es automática y que las ideas de Platón eran correctas.
Para realizar este experimento se utilizaron 3 fotografías que reproducían con variaciones una de las estatuas de referencia de la “belleza clásica”: El “Doriforo” de Polícleto. Dos de ellas estaban retocadas en la proporción de las piernas respecto al tronco (una era “paticorta” y la otra “piernilarga”), mientras que la tercera imagen empleada en el experimento reproducía sin cambios la estatua canónica original (de "proporción áurea") de Polícleto.
Doriforo de proporciones áureas (0,61, central) y retocadas (extremos).
Como estaba previsto, prácticamente la totalidad de los sujetos eligieron como la “estatua más bella” la creada por Policleto que sigue la “Proporción Áurea” (proporción de 1:0,618, la central en la imagen adjunta), la versión de la izquierda que tiene una proporción de 1:074, fue considerada “fea” por el 36 % de los sujetos del experimento, mientras que la de la derecha de proporción 1:0,36 fue considerada “fea” por la mayoría (64%) de los sujetos del experimento. (Es curioso que la mayoría de los encuestados hayan considerado más fea la figura de piernas más largas que la que las tiene más cortas, esta “verdad experimental” va en contra de las modelos de moda actuales con piernas más largas de “lo normal” y del uso de tacones para acentuar la longitud aparente de las mismas. )

Además de comprobar cual era la imagen seleccionada por los participantes del experimento como la más bella y mejor proporcionada, mientras se les iba entregando a los sujetos las tarjetas con cada una de las tres imágenes, simultáneamente se estudiaba la respuesta espontánea del interior de su cerebro mediante un equipo de resonancia magnética, que permitía ver en “tiempo real” las partes del cerebro que mantenían una mayor actividad neuronal.

Estos fueron los resultados:  Además de la "corteza visual" situada en el área occipital del cerebro, que es donde se reciben las imágenes de nuestra vista, cuando el sujeto observaba la imagen de la estatua original de proporción áurea, la percepción de esta “belleza clásica” activaba simultáneamente dos conjuntos de neuronas; uno situado en la corteza cerebral y otro en las profundidades del cerebro, en la “ínsula” que es una parte del "Sistema Límbico", donde se “sienten” las emociones y donde también se ubica el “centro del placer”.  Esta activación de la “ínsula” fue especialmente intensa en los participantes del experimento cuando solo se les pedía observar la imagen y se dejaba al cerebro que reaccionara de manera espontánea sin realizar ningún tipo de valoración (propias de la corteza).  Pero el resultado más impresionante del experimento fue que estas áreas profundas del "Sistema Límbico" (la ínsula) asociadas con la emoción y la belleza NO se estimulaban cuando los sujetos observaban las imágenes de estatuas no canónicas. Es decir: Nuestro cerebro incluye un detector "automático" de proporciones perfectas en sus áreas más profundas (y primitivas) de nuestro cerebro no asociadas con la lógica (la corteza) ni con nuestra personalidad (el hemisferio izquierdo). Como era de esperar, las áreas de la corteza se estimulaban mucho más cuando a los participantes del experimento se les pedía que evaluaran cada imagen como “bonita”, “fea” o “indiferente”.   En este enlace aparece el informe de este importante experimento científico (en inglés), y aquí podemos ver una reseña con interesantes comentarios del mismo experimento (en español).

Para Platón la belleza era algo intrínseco al objeto bello en si, independiente de nuestros valores culturales o de nuestra educación; y la belleza no se aprendía sino que simplemente se percibía porque su modelo estaba ya en nuestro interior.  Ya no creemos que exista “el mundo de las ideas” abstractas de Platón, ni que Afrodita haya vivido entre nosotros, pero este experimento ha demostrado que las ideas de este filósofo eran las correctas, mientras que los "relativistas" una vez más están equivocados: El concepto de la belleza está impreso en lo más profundo de nuestros cerebros a través de millones de años de evolución y de selección de los individuos más sanos y perfectos, y ha aparecido en los sistemas neuronales de los seres vivos, millones de años antes de la aparición del hombre.  

LA MÚSICA DEL NÚMERO ÁUREO
La música es otra de las artes que busca la armonía de la melodía y el equilibrio de sus notas y no es de extrañar que algunos compositores (Bela Bartok, Erik Satie y Claude Debussy, entre otros muchos) hayan empleado la proporción áurea para mejorar la estructura y la belleza de sus piezas musicales.
El compositor Michael John Blake ha dado por supuesto que los infinitos dígitos de φ (aparentemente aleatorios) contienen una armonía oculta que puede ser traducida en música. 
Este músico ha convertido los dígitos consecutivos del número φ en notas, empleando este orden de traducción:  1 = Do , 2 = Re, 3 = Mi, 4 = Fa, 5 = Sol, 6 = La, 7 = Si, 8 = Do de la octava superior , 9 = Re de la octava superior y 0 = Silencio.  Con esta partitura creada a partir de los decimales del número áureo, empleando un tempo” de 161,8 Pulsaciones por Minuto, ha grabado la “música de φ” y la ha publicado en la Red el pasado mes de Junio (de 2012).
Se trata de una música bellísima como no podía ser de otra manera, ya que encierra en sus notas el “secreto de la belleza”.
Cuando empezamos este viaje en busca de la belleza, planteamos una pregunta que (según mi opinión), ha sido perfectamente respondida a lo largo de los siglos por muchas generaciones de matemáticos, filósofos y artistas:  
“La belleza es la percepción de la simetría y de la proporción 
que aparecen de modo natural en los seres vivos más perfectos”. 

Esta proporción perfecta es la “proporción áurea” φ = 1,6180339…, un número irracional de infinitos decimales que la naturaleza emplea para el crecimiento armonioso de los seres vivos, y que aparece también en muchísimos otros procesos naturales, desde las partículas atómicas hasta las Galaxias Espirales. 

Durero después de estudiar la Espiral Logarítmica y la Proporción Áurea publicó en 1525, dos años antes de su muerte, esta reflexión sobre la belleza dedicada a los artistas: 
“La belleza consiste en la armonía de las partes entre sí y con el todo … 
Lo mismo que cada parte debe ser perfectamente dibujada, 
también su reunión debe crear una armonía de conjunto,… 
porque a los elementos armoniosos se les percibe como bellos”. 

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BIBLIOGRAFÍA:

 SOBRE LA PERCEPCIÓN (INCONSCIENTE) DE LA BELLEZA
  • "VISION INTERIOR: UNA INVESTIGACION SOBRE EL ARTE Y EL CEREBRO".
Autor:SEMIR ZEKI,  Editoral: ANTONIO MACHADO, 2005 
ISBN: 9788477746713
SemirZeki es catedrático de Neuroestética del University College de Londres y ha investigado muchísimo sobre la percepción visual en el cerebro, logrando identificar las bases neurológicas de la estética y de la creatividad artística.
Podemos ver una reseña muy buena de las investigaciones del Doctor Semir Zeki en la monografía de José Javier Campos Bueno (2010):
 "Neuroestética: hacia un estudio científico de la belleza y de los sentimientos estéticos compartidos en el arte".  "Neuroestética".  Madrid, pp. 29-50. ISBN: 9788477746713
Editorial:  Saned (Sanidad y Ediciones SA).
  • "LA SUPERVIVENCIA DE LOS MAS GUAPOS: LA CIENCIA DE LA BELLEZA".
Autora: NANCY ETCOFF, Editorial: DEBATE, 2000
ISBN 9788483062920

NancyEtcoff es psicóloga y profesora en la Escuela de Medicina y en la Universidad de Harvard en el área de la Mente y del Comportamiento. Ha realizado investigaciones sobre la percepción de la belleza, la emoción,  el cerebro y la mente durante más de quince años.
El documental "La ciencia de la Belleza" (de Discovery Channel) está basado en su libro.
Podemos ver una entrevista de Eduardo Punset a Nancy Etcoff en el programa Redes: https://www.youtube.com/watch?v=wsKovm86nMk

SOBRE LA PROPORCIÓN ÁUREA en MATEMÁTICAS:
  • "La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo".
Autor: Mario Livio,    Editorial Ariel, 2006 - 344 páginas
ISBN: 9788434444959

Mario Livio es un astrónomo director del instituto que gestiona el telescopio espacial Hubble. Ha investigado la relación de la naturaleza con el arte desde un punto de vista científico y publicó en 2011 el libro "¿Es Dios un Matemático?"
Podemos ver una entrevistado de Eduardo Punset a Mario Livio en su programa Redes, en este enlace: http://www.youtube.com/watch?v=d_7I-uqz_ic
  
  •  "La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza" 
 
Autor: Fernando Corbalán  Editorial: RBA 2011
Serie "Mundo Matemático" editada por RBA.ISBN 978844736623-1

 
Fernando Corbalán es catedrático de un Instituto de Secundaria aragonés. Ha desarrollado varios proyectos dedicados a la divulgación de las matemáticas, y ha escrito muchas obras sobre distintos conceptos claves de la matemática y sus aplicaciones en nuestra vida diaria.

Esta es una entrevista al autor:   http://www.youtube.com/watch?v=9zQTp-Nc3UQ
RESEÑA y descarga del libro en pdf  http://ebiblioteca.org/?/ver/87137

Editorial: NATIONAL GEOGRAPHIC, 2014
ISBN 978844737730-5
La editorial cuyo logotipo es el "Rectángulo Áureo" acaba de reeditar el libro de Fernando Corbalán (y toda la colección "Mundo Matemático" de RBA) con un gran despliegue publicitario y con dos cambios importantes en la edición. La maquetación es idéntica página a página, pero el papel reciclado de RBA se ha sustituido por un papel de mayor gramaje y de un blanco inmaculado, y todas las fotografías que en la edición de RBA eran en Blanco y Negro se han reemplazado por otras equivalentes a todo color. Sin embargo no es este el cambio más curioso en la nueva edición: El nombre del autor (Corbalán) ha desaparecido de la portada y de la primera página "sustituido" por el logotipo de esta editorial americana. Hay que buscar en la única página donde aparecen los "derechos de copia" para poder encontrar los datos del autor español y el año en que escribio la obra (2010).  Para los que ya compraron la colección: "El mundo es matemático" no merece la pena comprar esta reedición tan lujosa y llena de colorines.
  • "JUEGOS: LOS MÁGICOS NÚMEROS DEL DR. MATRIX"  incluye el capítulo: "La belleza matemática de la Gran Pirámide de Keops" ".
Autor: Martin Gardner,    Editorial: GEDISA, 1987-328 págs.
ISBN 9788474322637
Martin Gardner es un viejo conocido de todos los aficionados a los juegos y las paradojas matemáticas, y por supuesto también ha prestado atención a la proporción áurea.
Gardner (1914-2010) fue el responsable durante 25 años de la sección "Juegos matemáticos" de la revista mensual "Scientific American" (Editada desde 1976 en español como "Investigación y Ciencia"), y llegó a escribir más de un centenar de libros sobre rompecabezas, juegos y paradojas matemáticas, muchos de los cuales siguen siendo reeditados en la actualidad y son también muy fáciles de encontrar en Internet. El doctor Matrix es un personaje (imaginario) muy  interesado en el significado "mágico" de los números con el que el Martin Gardner mantenía reuniones periódicas para desentrañar misterios numerológicos. Este es un libro ideal para los aficionados a las matemáticas y además se puede encontrar en una edición en español muy barata.

Un capítulo del libro está relacionado con la proporción áurea: "La belleza matemática de la Gran Pirámide de Keops". Podemos ver también un interesante estudio de Francisco Guillermo Herrera (UVM) donde se analiza a fondo este capítulo del libro de Gardner: http://www.uvmnet.edu/investigacion/episteme/numero4-05/resenas/juegos.asp
  
 
  • "La Divina Proporción" El libro que lo empezó todo. 
Por fin se ha editado en español el libro escrito en 1497 por el Fraile Luca Pacioli, que contó con la colaboración de Leonardo da Vinci, y fue el punto de partida de la búsqueda de todas las proporciones áureas en el cuerpo humano y en la naturaleza, durante el Renacimiento. 
Es un buen libro para todos los interesados en temas históricos, y para los más curiosos en la historia de la percepción de la belleza.
En la monografía: "LA DIVINA PROPORCIÓN Y EL PENTAGRAMA PITAGÓRICO", se hace un buen estudio del libro de Luca Pacioli (pág 89) así de como los antecedentes historicos de la proporción áurea desde Pitágoras:     
http://www.xtec.cat/sgfp/llicencies/200304/memories/12DivinaProporcion.pdf

SOBRE LA BELLEZA:
  • "HISTORIA DE LA BELLEZA".
Autor: Umberto Eco    Editorial: Lumen , 2004- 440 páginas 
(Reeditado en 2010 en formato de libro de Bolsillo)ISBN 9788499087016
Umberto Eco es una de las personas vivas más culta e interesante, y es además un excelente escritor muy ameno y riguroso. Erudito en multitud de temas ha escrito también dos novelas con bastante éxito (El nombre de la Rosa y El péndulo de Foucault). Su talento ha sido reconocido en todos los círculos académicos y ha sido nombrado doctor honoris causa por multitud de universidades, entre ellas la Complutense de Madrid en 1990. 
Su conocimiento del mundo clásico y medieval, le ha permitido escribir su “Historia de la belleza”, un libro perfecto y ameno en el que recorre todas las “ideas que se han ido expresando sobre el arte, que han establecido una relación entre arte y belleza”. 
Este es un libro imprescindible para todos los que nos interesamos en el arte y en la cultura.   

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